Числа Фибоначчи: Что Это Такое и Где Они Применяются?

Числа Фибоначчи были впервые описаны итальянским ученым Леонардо Пизанским (Фибоначчи) в начале XIII века. В 1202 он написал математический доклад — «Книгу абака» о принципах арифметики. В своей книге ученый описал определенную последовательность чисел, которую впоследствии и назвали числами Фибоначчи.

В данной статье мы рассмотрим, что такое числа Фибоначчи, где они применяются и какие заблуждения об этих “магических” числах существуют.

Что такое числа Фибоначчи?

Числа Фибоначчи – это закономерность чисел, где каждое число равняется сумме сложения двух предыдущих чисел. Числа начинаются с 0 и выглядят следующим образом: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. 

Давайте рассмотрим формулу чисел Фибоначчи. Серия начинается с 0 и 1. Третье число находится путем добавления двух чисел перед ним (0+1)=1. Четвертое число в последовательности, 2, находится путем добавления двух чисел перед ним (1+1)=2. Пятое число, 3, является суммой сложения 1 и 2, и так далее.

Последовательность чисел Фибоначчи в жизни была открыта случайно при изучении размножения кроликов. Фибоначчи рассматривал рост идеализированной (биологически нереалистичной) популяции кроликов, предполагая, что:

1. единственную недавно родившуюся пару кроликов (один самец, одна самка) высаживают в поле;
2. животные способны спариваться в возрасте одного месяца, так что в конце второго месяца самка может произвести еще двух кроликов;
3. кролики никогда не умирают, и пара спаривания всегда производит одну новую пару (один самец, одна самка) каждый месяц, начиная со второго месяца.

Фибоначчи задался вопросом: сколько пар будет через год? И таким образом “открыл” числовую последовательность.

Впоследствии она нашла широкое применение в различных областях, включая математику, физику, информатику, финансы и даже искусство. Данные числа также применяют в других менее прикладных областях, например, в дизайне — отношение соседних чисел в последовательности стремится к золотому сечению, которое считается самой оптимальной пропорцией любого предмета. Золотое сечение (The Golden Ratio) — наглядный пример чисел Фибоначчи в природе.

Где применяются числа Фибоначчи?

Использование чисел Фибоначчи в трейдинге

Последовательность Фибоначчи, описывающая закономерность числового ряда, имеет прикладной характер для торговли на бирже. В начале 20 века американский финансист Ральф Нельсон Эллиот начал исследовать динамику цен фондовых бирж и обнаружил, что их изменения можно выразить численно: если распределить числа по графику, то можно заметить золотое сечение — соотношение любых двух чисел будет равно 0,61803. 

В то время Эллиот делал все расчеты на бумаге, но сегодня на рынке используются автоматизированные программы (терминалы), со встроенными расчетами на основе закономерности Фибоначчи, которые предлагают различные инструменты прогнозирования.

Одним из основных способов использования чисел Фибоначчи в трейдинге является построение Фибоначчи-уровней. Это графический инструмент, необходимый для того, чтобы спрогнозировать уровни поддержки и сопротивления на рынке.  

Уровни Фибоначчи обычно представляют собой горизонтальные линии на графике цены актива. Они помогают трейдерам определить, когда динамика цен может измениться. Для строительства Фибоначчи-уровней, трейдер выбирает максимальные и минимальные показатели цены, и затем использует числа Фибоначчи, чтобы зафиксировать уровни между ними.

Уровни Фибоначчи делятся на несколько ступеней, которые обычно обозначаются процентами: 23,6%, 38,2%, 50%, 61,8% и 100%. Наиболее часто встречаются такие уровни Фибоначчи, как 38,2%, 50% и 61,8%. Они рисуются на графике цены в согласно определенным формулам. Трейдеры могут использовать данную информацию для того, чтобы обозначить входы и выходы из рынка, а также для установки уровней стоп-лосс и тейк-профит.

Например, если цена актива движется вверх и достигает максимума, трейдер может использовать уровни Фибоначчи, чтобы определить, где могут находиться уровни поддержки, куда цена может вернуться, прежде чем продолжить свое движение вверх.

Уровень 38,2% считается уровнем слабой коррекции. Если цена прорывает этот уровень, то это может указывать на продолжение текущего тренда. Если цена достигнет поддержки на 50% Фибоначчи-уровня, это может быть сигналом для покупки, так как цена может вернуться вверх.

Уровни Фибоначчи также могут быть использованы для определения точек выхода из позиции. Например, если цена актива движется вниз и достигает минимума, трейдер может использовать уровни, чтобы определить, где могут находиться уровни сопротивления, куда цена может вернуться, прежде чем продолжить свое движение вниз.

Важно отметить, что польза чисел Фибоначчи в трейдинге является дискуссионным вопросом. Несмотря на то, что маркет-циклы и финансовые показатели подчиняются определенной закономерности, на них влияют несколько факторов, которые нельзя строго предсказать с помощью математических формул. 

Кроме того, при условии отсутствия какого-либо воздействия извне, использование финансовых индикаторов, которые опираются на числа Фибоначчи, действительно может помочь с прогнозированием колебания цен и индексов ценных бумаг.

Числа Фибоначчи в информатике и программировании

Последовательность Фибоначчи — типичная иллюстрация итеративного процесса рекурсии в математике. Рекурсией называют свойство математической функции, при котором она вызывает сама себя. 

Рекурсия применяется в программировании для упрощения вычислений. Ни один программист сегодня не может обойтись без рекурсивных функций, ведь они являются базовыми основами многих программ, например, языка Питон. 

Так выглядит рекурсия чисел Фибоначчи на языке Python:

def fib(number_of_terms):

   counter = 0

   first = 0

   second = 1

   temp = 0

   while counter <= number_of_terms:

      print(first)

      temp = first + second

      first = second

      second = temp

      counter = counter + 1

# Driver Code

fib(10)

При использовании рекурсивного метода нахождения чисел Фибоначчи программа достигает своего предела и процесс рекурсии значительно замедляется. Это объясняется тем, что природа рекурсии заключается в том, что программа постоянно вызывает саму себя. Если номер первого элемента ряда, (обозначаемый как n) является большим числом, обычный компьютер может не справиться с задачей, или расчет числа будет идти слишком долго.

Чтобы избежать таких проблем при нахождении чисел Фибоначчи, применяются и другие методы, такие как использование обычных циклов на языке программирования Python.

f1 = f2 = 1

y = input (“fib row number: “)

y = int(y) – 2

while y > 0:

    f1, f2 = f2, f1 + f2

    y -= 1

print (“element value:”, f2)

Также закономерность чисел Фибоначчи используется для генерирования рандомных чисел. Рандомными или случайными называются числа, полученные в результате случайной выборки. 

Такие числа часто используются в шифровании или разработке игр для онлайн казино, однако генерировать настоящие случайные числа непросто. Традиционные методы, такие как подбрасывание монеты или игральные кубики, дают ограниченное количество вариантов, которых недостаточно для продвинутых научных и технологических приложений. 

Чтобы решить проблему с замедлением случайного генерирования чисел, были разработаны псевдослучайные числа, которые генерируются при помощи специальных программ – генераторов (RNG). Эти числа обладают похожими свойствами случайности, но на самом деле они созданы на основе конкретного алгоритма. 

Однако ввиду определенных лимитов после некоторого времени, генерируемые последовательности начинают повторяться, что является особенностью работы генераторов псевдослучайных чисел. В криптографии это является критически важным аспектом, так как влияет на степень защищенности информации. 

Для усложнения генерации случайных чисел нужно создать случайное начальное значение — обычно генерируемое из действительно случайного события — и затем использовать его для генерации последовательности случайных значений.

Затем можно обобщить последовательность, выбрав значения смещения и оператор (сложение (+), вычитание (-), умножение (×).

Для решения данной проблемы в середине 20 века был разработан новый генератор RNG, использующий числа Фибоначчи, – Lagged Fibonacci generator, который улучшил генерирование рандомных чисел. 

Сегодня генератор замедленных чисел повсеместно применяется в шифровании, компьютерном моделировании строения растений и других предметов живой природы, кристаллографии, биологии и биоинформатике, где он используется для описания расположения лепестков у цветов, плодов цветка подсолнечника, распределения веток в кроне дерева, семян в клубнике и прочих задач. 

Кроме того, числа Фибоначчи могут быть использованы для приближенного описания некоторых природных явлений, таких как разница ветровых потоков, погода, циклоны, бури и других, на первый взгляд, рандомных процессов на планете.

Дизайн и визуальное искусство

В современной эпохе компьютеров и инноваций числа Фибоначчи, и связанное с ним золотое сечение, используются в различных областях художественного искусства: создании видеоигр, visual design, графическом и веб-дизайне. 

Таблица чисел Фибоначчи используется для точного размещения элементов на 2D и 3D объектах, например, сферах и многогранниках, что позволяет создавать высокоточные элементы, такие как изделия из драгоценных камней, или моделировать молекулярные сетки. 

Одна из форм фракталов, основанная на числовой последовательности Фибоначчи, применяется для создания компьютерных объектов природы, таких как ветви в кроне деревьев, цветы, реки с протоками и многое другое.

Универсальным принципом пропорциональности принято считать золотое сечение, которое основывается на числах Фибоначчи. Этот принцип известен с глубокой древности, но получил широкое распространение в эпоху Возрождения, так как его часто использовали в произведениях искусства. 

Художники и скульпторы прошлого начали использовать золотое сечение для достижения гармоничных пропорций в своих произведениях, например, рисуя лица или тело человека. 

Сегодня этот метод используется в различных областях визуального дизайна: фотографии, рисовании, кино, дизайне полиграфии, вывесок и других визуальных проектов. 

Золотое сечение  создает баланс и гармонию между объектами, что притягивает взгляд. Применение числа Фибоначчи и золотого сечения можно найти и в web-дизайне. Они используются для разработки эстетичных и удобных интерфейсов сайтов, лендингов и веб-приложений. 

Существует целый отдел науки — фрактальная геометрия — которая изучает единый геометрический рисунок, повторяющийся тысячи раз при разном увеличении. Она основана на закономерностях Фибоначчи и является самостоятельным направлением визуального искусства, которое применяется в различных областях, связанных с визуализацией, таких как световые инсталляции и картография.

Мифы и заблуждения о числах Фибоначчи

Числа Фибоначчи имеют много интересных свойств и связей с разными областями науки и техники. Но стоит отметить, что также существует несколько интересных мифов, которые связаны с ними. 

Первое заблуждение заключается в том, что используя числа Фибоначчи можно прогнозировать изменение цен на бирже и влиять на финансовые реалии. На самом деле, числа не предсказывают будущее, их можно применять в качестве одного из инструментов построения прогноза, не более. Некоторые трейдеры используют алгоритмы чисел Фибоначчи в построении графиков цен.

Второе заблуждение: числа Фибоначчи обладают сверхъестественным значением или магией. Числа Фибоначчи напрямую связаны с золотым сечением. По мере того, как числа Фибоначчи становятся больше, соотношение между каждой парой чисел приближается к 1,618033988749895. Это число называется Фи. Его также можно представить символом Φ. 

Φ – это золотое сечение. Хотя золотое сечение и числа Фибоначчи часто упоминаются в контексте природных явлений, они не могут объяснить все явления и то, как они созданы.

Третье заблуждение гласит о том, что числа Фибоначчи характеризуют идеальные пропорции. Но многочисленные исследования показали, что объекты, созданные с использованием этого принципа, часто воспринимаются людьми как непропорциональные и странные. 

Например, взрослые люди – это не просто младенцы увеличенного размера: у младенцев голова больше, ноги короче и туловище длиннее по сравнению с их полным размером. Если бы развитие человека следовало золотому сечению, люди бы выглядели точно так же как и при рождении. 

Также идея того, что золотое сечение повсеместно использовалось художниками, особенно в эпоху Возрождения, не является правдой. Хотя золотое сечение является эталоном распределения объектов в пространстве, оно не использовалось так часто, как может казаться.

Заключение 

Числа Фибоначчи имеют огромное значение во многих областях науки, и применяются каждый день. С помощью последовательности Фибоначчи получилось внести существенный вклад в развитие математики, информатики, компьютерных наук. 

Применение золотого сечения можно найти во многих областях современной жизни: от теоретических и научных до прикладных, таких как графический дизайн, шифрование данных, программирование, биотехнологии и т.д.

FAQ